Eko
Safitri
12515159
Bab
14 Tentang Proposisi
Pendahuluan
Di dalam matematika, tidak semua kalimat
berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja
yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi
(preposition). Sebuah proposisi atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif
yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu:”Benar”(B) atau ”Salah”(S).
1. Konsep
dan Notasi Dasar
Berupa
kalimat deklaratif yang bernilai benar (T atau true) atau salah (F atau false),
tetapi tidak
keduanya.
Contohnya :
- 10 adalah bilangan genap.
- 10 x 2 = 20.
- Hari ini adalah hari Rabu.
- x + y = y + x untuk
setiap x dan y bilangan riil.
2. Proposisi dan Tabel Kebenaran
Misalnya p dan q adalah proposisi.
|
P
|
Q
|
p ∧ q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
Konjungsi (conjunction): p dan q. Notasinya: p ∧ q.
Contohnya:
p :
Hari ini hujan
q :
Murid-murid diliburkan dari sekolah
p∧q: Hari ini
hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
|
P
|
Q
|
p ∨ q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
Disjungsi (disjunction): p atau q. Notasinya: p ∨ q
Contonya:
p : Ibu
memasak ikan.
q : Ibu
pergi ke pasar.
p∨q: Ibu
memasak ikan atau pergi ke pasar.
|
P
|
~q
|
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
Ingkaran (negation):
~p atau tidak p. Notasi: ~p.
p : Adik pergi ke pantai.
~p: Adik tidak pergi ke pantai
Contoh
gabungan:
p : Pemuda itu pintar
q :
Pemuda itu tampan
Maka:
a. p ∧ q : Pemuda
itu pintar dan tampan
b. p ∧ ~q : Pemuda
itu pintar tapi tidak tampan
c. ~p ∧ ~q : Pemuda
itu tidak pintar maupun tampan
d. ~(~p∨~q) : Tidak
benar bahwa pemuda itu bodoh atau tidak tampan
e. p ∨ ( ~p ∧ q ) : Pemuda
itu pintar atau bodoh, dan tampan
f. ~( ~p ∧ ~q ) : Tidak
benar bahwa pemuda itu bodoh maupun tampan
3. Ekivalen
Logika
Dua proposisi majemuk, jika
nilai kebenaran dari kedua pernyataan tersebut sama. Lambang untuk ekuivalen
adalah “ ≡ ”. Contohnya perhatikan tabel kebenaran dari proposisi (p ⇔ q) dan
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p):
|
p
|
⇔
|
q
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
|
|
|
|
|
P
|
⇒
|
q
|
∧
|
q
|
⇒
|
p
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
Karena nilai
kebenaran dari kedua proposisi diatas sama, maka
(p ⇔ q) ≡
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
4. Aljabar
Proposisi
|
1. Hukum identitas:
- p ∨ F ⇔ p
- p ∧ T ⇔ p
|
6. Hukum
penyerapan (absorpsi):
- p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
- p ∧ (p Ú q) ⇔ p
|
|
2. Hukum null atau dominasi:
- p ∧ F ⇔ F
- p ∨ T ⇔ T
|
7. Hukum
komutatif:
- p ∨ q ⇔ q ∨ p
- p ∧ q ⇔ q ∧ p
|
|
3. Hukum negasi:
- p ∨ ~p ⇔ T
- p ∧ ~p ⇔ F
|
8. Hukum
asosiatif:
- p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
- p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
|
|
4. Hukum idempotent:
- p ∨ p ⇔ p
- p ∧ p ⇔ p
|
9. Hukum
distributif:
- p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
- p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
|
|
5. Hukum Involusi (negasi ganda):
- ~(~p) ⇔ p
|
10. Hukum
De Morgan:
- ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q
- ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
|
5. Tautologi
dan Kontradiksi
Tautologi
adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat
pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu
pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan
menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka
disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau
penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini
juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian,
jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A.
Tono pergi kuliah
B.
Tini pergi kuliah
C.
Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika
yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah
premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1)
A → B
(Premis)
(2)
C → B (premis)
(3) (A V C) → B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B)
ʌ (C → B)) → ((A V C) → B
|
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A → B) ʌ (C → B)
|
A V C
|
(A V C) → B
|
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan
bahwa pernyataan majemuk :
Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:
1. (p ʌ ~q) p
Pembahasan:
|
P
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu
semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain
pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.
2. [(p q) ʌ p] p q
Pembahasan:
|
P
|
Q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p] p q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1) (2) (3) (4) (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk
itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p q) ʌ p] p q selalu
benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan
menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Contoh :
a.
(p ʌ ~q) p
Pembahasan:
|
P
|
Q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu
semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain
pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.
b.
[(p q) ʌ p] p q
Pembahasan:
|
P
|
q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p] p q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1) (2) (3) (4) (5)
Berdasarkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk
itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain,
pernyataan majemuk [(p
q) ʌ p] p q selalu benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan
menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk
pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah
pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran
dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada
dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu
jika semua pilihan bernilai F atau salah
maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau
penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
Contoh dari Kontradiksi:
1. (A ʌ ~A)
Pembahasan:
|
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk
(A ʌ ~A) selalu salah.
2. P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
|
P
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
P ʌ (~p ʌ q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu
semua pernyataan bernilai salah (F).
6. Implikasi
Logik
Untuk memahami
implikasi, pelajarilah uraian berikut. Misalnya, Elzan berjanji pada Gusrayani,
“Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan
ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore
nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton.
Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani
tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini
hujan dan Elzan tetap mengajak Gusrayani menonton, Gusrayani tentu merasa
senang sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton,
tentunya Gusrayani akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan
Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu
saja Gusrayani akan kecewa dan menganggap Elzan sebagai pembohong yang tidak
menepati janjinya.
Misalkan,
p : Sore tidak
hujan.
q : Elzan mengajak
Gusrayani menonton.
Pernyataan
“jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani nonton”. Dapat
dinyatakan sebagai “jika p maka q”. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk
“jika p maka q” disebut implikasi.
Misalkan p dan q
adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu
pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”. Pernyataan p disebut
hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan
q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen).
Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q
bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel berikut ini.
Terdapat
perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika
matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah
memiliki hubungan dengan pernyataan
konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore
nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan
sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak
harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q. Untuk lebih jelasnya,
perhatikan Contoh dibawah ini.
Contoh:
Tentukanlah
nilai kebenaran dari implikasi berikut !
a. Jika 4 + 7
= 10 maka besi adalah benda padat.
b. Jika 6 + 9
= 15 maka besi adalah benda cair.
c. Jika cos
30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.
Jawab :
a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda
padat.
Alasan salah,
kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.
b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.
Alasan benar,
kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah.
c. Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan
ganjil.
Alasan salah,
kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.
7.
Fungsi
Proposisi dan Himpunan Kebenaran
Misalkan P(x)
merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah
himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi
(dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.
Contoh :
Misalkan P(n)
adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan
bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D
karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D,
P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat
diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2,
diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.
Fungsi proposisi
“x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x
Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.
8.
Pengukur
Jumlah Universal
Misalkan A sebuah
penyataan, dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin menunjukkan bahwa A
bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai x, kita tuliskan ∀xA.
∀x
disebut pengukur jumlah universal (universal quantifier), dan A dikatakan
sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x
dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut.
Simbol ∀
dibaca “Untuk
semua”.
Untuk pernyataan
“Semua kucing punya ekor” dapat kita nyatakan dalam kalkulus predikat sebagai :
∀x
(Kucing(x)⇒PunyaEkor(x))
9.
Negasi
dan Ingkaran
Negasi sering kita
terjemahkan menjadi ingkaran.
Negasi dari n = 3
adalah n tidak = 3.
Negasi dari dia
benar adalah dia tidak benar.
Negasi dari saya
lapar adalah saya tidak lapar.
Bagaimana
dengan negasi suatu implikasi?
JIKA Rano
bekerja MAKA Rano mendapat gaji.
Bagaimana
menurut Anda?
Orang pada
umumnya mengira negasi dari pernyataan implikasi di atas adalah:
JIKA Rano
tidak bekerja MAKA Rano tidak mendapat gaji.
Bukan.
Pernyataan di atas bukanlah negasinya. Beberapa alternatif yang lain adalah:
JIKA Rano
bekerja MAKA Rano tidak mendapat gaji.
JIKA Rano
tidak mendapat gaji MAKA Rano tidak bekerja.
Pernyataan di
atas masih bukan negasinya.
Negasi yang
tepat adalah:
Rano bekerja
DAN Rano tidak mendapat gaji.
Atau:
Rano bekerja
TAPI Rano tidak mendapat gaji.
(DAN = TAPI).
JIKA segitiga
sama sisi MAKA besar jumlah ketiga sudutnya adalah 180 derajat.
Negasinya:
Segitiga sama
sisi TETAPI besar jumlah ketiga sudutnya adalah tidak 180 derajat.
Jadi,
negasi dari p ==>
q adalah p DAN ~q
Analisis Saya :
Ternyata
proposisi tidak hanya terdapat di bahasa Indonesia, di Matematika pun ada.
Proposisi ini memiliki arti yaitu, kalimat yang bernilai benar atau salah saja
yang digunakan dalam penalaran. Proposisi ini memiliki bermacam-macam jenis.
Terimakasih Untuk :
0 komentar:
Posting Komentar